MATEMÁTICAS : 2013

domingo, 15 de diciembre de 2013

(TERCER CASO DE FACTORIZACION)

(CASOS DE FACTORIZACION)

CASOS DE FACTORIZACIÓN

PRIMER CASO DE FACTORIZACION

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis. A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término:

8a : 4 = 2a este término dió "positivo"

Segundo término:

-4b : 4 = -b este término dió "negativo"

Tercer término:

16c : 4 = 4c

Cuarto término:

12d : 4 = 3d

De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4".

Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían.

SEGUNDO CASO DE FACTORIZACION

POR AGRUPACIÓN

El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos, o de

tres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor común y finalmente volver a factorizar por

factor común, en donde el paréntesis que debe quedar repetido en cada grupo es el factor común.

Como regla práctica, el signo del primer término de cada grupo es el signo que debe ponerse en cada

factorización por factor común.

Ejemplo 1: Factorizar 2ac + bc + 10a + 5b

Solución: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros términos y el otro con los otros dos términos.

2ac + bc + 10a + 5b=c(2a + b) + 5(2a + b)

Factorizando cada grupo por factor común: El primer grupo tiene a c como factor común, mientras

que el segundo grupo tiene al 5 . De manera que resulta que:

2ac + bc + 10a + 5b = c(2a + b) + 5(2a + b)

Obsérvese que en ésta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es

la suma, por lo que no está aún factorizado.

Volviendo a factorizar por factor común, ya que el paréntesis repetido es ése factor común, finalmente

se obtiene que

2ac + bc + 10a + 5b = (2a + b)(c + 5) .

Obsérvese que en esta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es

la multiplicación, por lo que ya está factorizado.

TERCER CASO DE FACTORIZACION

DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2 . Es bien obvio que si se invierte la igualdad anterior

sigue siendo lo mismo: a 2 - b 2 = . (a + b)(a − b) Visto en esta forma, a la inversa del producto notable,

se obtiene la factorización de una diferencia de cuadrados. Obsérvese que en (a + b)(a - b) , la

operación principal es la multiplicación.

De lo anterior puede escribirse la siguiente regla:

Es importante señalar que da lo mismo que primero se escriba el binomio suma que el binomio resta,

ya que la multiplicación es conmutativa.

Ejemplo 1: Factorizar 4a 2 - x 6

Solución: La raíz cuadrada de 4a 2 es 2a y de x 6 es x 3 . De manera que los binomios conjugados que le corresponden

son (2a + x 3)(2a - x 3) .

La factorización es: 4a 2 - x 6 = (2a + x 3)(2a - x 3).

Ejemplo 2: Factorizar 49a 4b 6 - 100x 2

Solución: La raíz cuadrada de 49a 4b 6 es 7a2b 3 y de 100x 2 es 10x . De manera que los binomios conjugados

que le corresponden son (7a 2b 3 + 10x)(7a 2b 3 - 10x) .

La factorización es: 49a 4b 6 - 100x 2 = (7a 2b 3 + 10x)(7a 2b 3 - x).

CUARTO CASO DE FACTORIZACION

TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + bx + c

La forma de estos trinomios es que debe haber una sola equis cuadrada. La letra b representa en general

a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x.

El procedimiento de factorización para estos casos consiste en buscar dos números, a los cuales se

les llamará m a uno y n al otro, los cuales deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla:

Ejemplo 1: Factorizar x 2 + 5x + 6

Solución: En este caso, b = + 5 y c = + 6 .

Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den + 6 . Son + 3 y + 2 .

Los factores buscados son (x + 3) y (x + 2) .

Finalmente significa que x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) . Obsérvese que en esta última expresión, la

operación principal es la multiplicación.

Ejemplo 2: Factorizar x 2 + 5x - 6

Solución: En este caso, b = + 5 y c = - 6 .

Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den - 6 . Son + 6 y - 1 .

Los factores buscados son (x + 6) y (x - 1) .

Finalmente significa que x 2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1) . Obsérvese que en esta última expresión, la

operación principal es la multiplicación.

QUINTO CASO DE FACTORIZACION

TRINOMIOS DE LA FORMA ax2 + bx + c

La diferencia de esta forma con la anterior es que en aquella debía haber una sola equis cuadrada,

mientras que en ésta debe haber más de una. La letra a representa en general a cualquier número que

vaya junto a la x2 (indica cuántas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier número que

vaya junto a la x (indica cuántas equis hay); y la c representa a cualquier número que vaya sin la x .

Por ejemplo, el trinomio 49x2 - 25x + 121 es de la forma mencionada, en donde a = 49; b = - 25;c = + 121.

Existen varios procedimientos para factorizar trinomios de esta forma, de los cuales solamente

se estudiarán dos en este curso.

PRIMER PROCEDIMIENTO:

El primer procedimiento consiste en buscar dos números, a los cuales se les llamará m a uno y n

al otro, los que deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla:

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 21

Ejemplo 1: Factorizar 2x 2 + 5x - 3

Solución: En este caso, a = 2 ; b = + 5 y c = - 3 .

Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir

(2)(- 3) = - 6 . Son + 6 y - 1 .

El término lineal (el 2º término), que es 5x , se parte en la suma de esos números obtenidos, o sea

en 6x - x , por lo que resulta que

2x 2 + 5x - 3 = 2x 2 + 6x - x - 3

Se factoriza por agrupación:

2x 2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - 1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)

Finalmente 2x 2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) . Obsérvese que en la expresión del lado derecho del signo

igual, la operación principal es la multiplicación, lo que significa que (2x - 1) y (x + 3) son factores;

por eso se obtuvo una factorización.

Ejemplo 2: Factorizar 6x 2 + 7x + 2

Solución: En este caso, a = 6 ; b = 7 y c = 2 .

Se buscan dos números que sumados den + 7 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir

(6)(2) = 12 . Son + 4 y + 3 .

El 2º término, que es 7x , se parte en la suma de esos números obtenidos, o sea en 4x + 3x , por lo

que resulta que

6x 2 + 7x + 2 = 6x 2 + 4x + 3x + 2

Se factoriza por agrupación:

6x 2 + 4x + 3x + 2 = 2x(3x + 2) + 1(3x + 2) = (3x + 2)(2x + 1)

6x 2 + 7x + 2 = (3x + 2)(2x + 1).

SEXTO CASO DE FACTORIZACION

SUMA DE CUBOS

Si se multiplica (a 2 - ab + b 2)(a + b)

es decir, que (a 2 - ab + b 2)(a + b) = a 3 + b 3 . Obviamente que si se invierte la igualdad anterior lo que

resulta es cierto sin lugar a dudas, o sea que se puede afirmar que

a 3 + b 3 = (a 2 - ab + b 2)(a + b)

lo que equivale a afirmar que la factorización de a 3 + b 3 es (a 2 - ab + b 2)(a + b) , o bien, ya que la

multiplicación es conmutativa, a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) .

De lo anterior se desprende la siguiente regla:

Ejemplo 1: Factorizar x 3 + 1

Solución: La raíz cúbica de x 3 es x ; la raíz cúbica de 1 es 1 .

El primer factor es la suma de esas raíces cúbicas, es decir, es (x + 1) .

El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (x + 1) :

Y cuadrado del primer término: (x)2 = x 2 ;

Y menos el producto del primero por el segundo: - (x)(1) = - x ;

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 29

Y más el cuadrado del segundo término: (1)2 = 1 .

De manera que el segundo factor es (x 2 - x + 1) .

Finalmente, la factorización de x3 + 1 es

x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 - x + 1)

Ejemplo 2: Factorizar 8x 3 + 27

Solución: La raíz cúbica de 8x 3 es 2x ; la raíz cúbica de 27 es 3 .

El primer factor es la suma de esas raíces cúbicas, es decir, es (2x + 3) .

El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (2x + 3) :

Y cuadrado del primer término: (2x)2 = 4x 2 ;

Y menos el producto del primero por el segundo: - (2x)(3) = - 6x;

Y más el cuadrado del segundo término: (3)2 = 9 .

De manera que el segundo factor es (4x 2 - 6x + 9) .

Finalmente, la factorización de 8x 3 + 27 es

8x 3 + 27 = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9)

SÉPTIMO CASO DE FACTORIZACION

OCTAVO CASO DE FACTORIZACION

NOVENO CASO DE FACTORIZACION

DECIMO CASO DE FACTORIZACION

(MATRIZ INVERSA)

INVERSA DE UNA MATRIZ

Definición de matriz inversa, cálculo de un matriz inversa aplicando la fórmula. Cálculo aplicando el método de Gauss-Jordan. Ejemplos y ejercicios.

(DETERMINANTE DE UNA MATRIZ MÉTODO DE SARRUS)

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ MÉTODO DE SARRUS

La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus..

Considérese la matriz 3×3:

$M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:

En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =$

$= a_{11} a_{22} a_{33} + \; a_{12} a_{23} a_{31} + \; a_{13} a_{21} a_{32} - \; a_{31} a_{22} a_{13} - \; a_{32} a_{23} a_{11} - \; a_{33} a_{21} a_{12}$

Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$

(DETERMINANTE DE UNA MATRIZ MÉTODO DE GAUSS)

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ MÉTODO DE GAUSS

Ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matriz M = (AI),

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).

A continuación, cogemos como pivote a₃₃, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA^-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.

Comprobación:

AA^-1 = I

domingo, 1 de diciembre de 2013

(OPERACIONES CON MATRICES)

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

(MATRICES)

MATRICES

Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma:

La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices Cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz Identidad

Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I ·A = A.

Matrices Triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices Diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la transpuesta de:

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT = Monografias.com

es la matriz n ð m. La transposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B) T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB) T = BTAT.

Matrices Simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es anti simétrica, si AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices Ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices Normales

Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo: