CASOS DE FACTORIZACIÓN
PRIMER CASO DE FACTORIZACION
"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis. A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:
Primer término:
8a : 4 = 2a este término dió "positivo"
Segundo término:
-4b : 4 = -b este término dió "negativo"
Tercer término:
16c : 4 = 4c
Cuarto término:
12d : 4 = 3d
De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4".
Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían.
SEGUNDO CASO DE FACTORIZACION
POR AGRUPACIÓN
El proceso consiste en formar grupos o agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos, o de
tres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor común y finalmente volver a factorizar por
factor común, en donde el paréntesis que debe quedar repetido en cada grupo es el factor común.
Como regla práctica, el signo del primer término de cada grupo es el signo que debe ponerse en cada
factorización por factor común.
Ejemplo 1: Factorizar 2ac + bc + 10a + 5b
Solución: Se forman dos grupos, uno con los dos primeros términos y el otro con los otros dos términos.
2ac + bc + 10a + 5b=c(2a + b) + 5(2a + b)
Factorizando cada grupo por factor común: El primer grupo tiene a c como factor común, mientras
que el segundo grupo tiene al 5 . De manera que resulta que:
2ac + bc + 10a + 5b = c(2a + b) + 5(2a + b)
Obsérvese que en ésta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es
la suma, por lo que no está aún factorizado.
Volviendo a factorizar por factor común, ya que el paréntesis repetido es ése factor común, finalmente
se obtiene que
2ac + bc + 10a + 5b = (2a + b)(c + 5) .
Obsérvese que en esta última expresión (la de la derecha del signo igual), la operación principal es
la multiplicación, por lo que ya está factorizado.
TERCER CASO DE FACTORIZACION
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2 . Es bien obvio que si se invierte la igualdad anterior
sigue siendo lo mismo: a 2 - b 2 = . (a + b)(a − b) Visto en esta forma, a la inversa del producto notable,
se obtiene la factorización de una diferencia de cuadrados. Obsérvese que en (a + b)(a - b) , la
operación principal es la multiplicación.
De lo anterior puede escribirse la siguiente regla:
Es importante señalar que da lo mismo que primero se escriba el binomio suma que el binomio resta,
ya que la multiplicación es conmutativa.
Ejemplo 1: Factorizar 4a 2 - x 6
Solución: La raíz cuadrada de 4a 2 es 2a y de x 6 es x 3 . De manera que los binomios conjugados que le corresponden
son (2a + x 3)(2a - x 3) .
La factorización es: 4a 2 - x 6 = (2a + x 3)(2a - x 3).
Ejemplo 2: Factorizar 49a 4b 6 - 100x 2
Solución: La raíz cuadrada de 49a 4b 6 es 7a2b 3 y de 100x 2 es 10x . De manera que los binomios conjugados
que le corresponden son (7a 2b 3 + 10x)(7a 2b 3 - 10x) .
La factorización es: 49a 4b 6 - 100x 2 = (7a 2b 3 + 10x)(7a 2b 3 - x).
CUARTO CASO DE FACTORIZACION
TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + bx + c
La forma de estos trinomios es que debe haber una sola equis cuadrada. La letra b representa en general
a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x.
El procedimiento de factorización para estos casos consiste en buscar dos números, a los cuales se
les llamará m a uno y n al otro, los cuales deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla:
Ejemplo 1: Factorizar x 2 + 5x + 6
Solución: En este caso, b = + 5 y c = + 6 .
Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den + 6 . Son + 3 y + 2 .
Los factores buscados son (x + 3) y (x + 2) .
Finalmente significa que x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) . Obsérvese que en esta última expresión, la
operación principal es la multiplicación.
Ejemplo 2: Factorizar x 2 + 5x - 6
Solución: En este caso, b = + 5 y c = - 6 .
Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den - 6 . Son + 6 y - 1 .
Los factores buscados son (x + 6) y (x - 1) .
Finalmente significa que x 2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1) . Obsérvese que en esta última expresión, la
operación principal es la multiplicación.
QUINTO CASO DE FACTORIZACION
TRINOMIOS DE LA FORMA ax2 + bx + c
La diferencia de esta forma con la anterior es que en aquella debía haber una sola equis cuadrada,
mientras que en ésta debe haber más de una. La letra a representa en general a cualquier número que
vaya junto a la x2 (indica cuántas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier número que
vaya junto a la x (indica cuántas equis hay); y la c representa a cualquier número que vaya sin la x .
Por ejemplo, el trinomio 49x2 - 25x + 121 es de la forma mencionada, en donde a = 49; b = - 25;c = + 121.
Existen varios procedimientos para factorizar trinomios de esta forma, de los cuales solamente
se estudiarán dos en este curso.
PRIMER PROCEDIMIENTO:
El primer procedimiento consiste en buscar dos números, a los cuales se les llamará m a uno y n
al otro, los que deben cumplir los requisitos dados en la siguiente regla:
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 21
Ejemplo 1: Factorizar 2x 2 + 5x - 3
Solución: En este caso, a = 2 ; b = + 5 y c = - 3 .
Se buscan dos números que sumados den + 5 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir
(2)(- 3) = - 6 . Son + 6 y - 1 .
El término lineal (el 2º término), que es 5x , se parte en la suma de esos números obtenidos, o sea
en 6x - x , por lo que resulta que
2x 2 + 5x - 3 = 2x 2 + 6x - x - 3
Se factoriza por agrupación:
2x 2 + 6x - x - 3 = 2x(x + 3) - 1(x + 3) = (2x - 1)(x + 3)
Finalmente 2x 2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3) . Obsérvese que en la expresión del lado derecho del signo
igual, la operación principal es la multiplicación, lo que significa que (2x - 1) y (x + 3) son factores;
por eso se obtuvo una factorización.
Ejemplo 2: Factorizar 6x 2 + 7x + 2
Solución: En este caso, a = 6 ; b = 7 y c = 2 .
Se buscan dos números que sumados den + 7 y que multiplicados den lo que resulte de ac , es decir
(6)(2) = 12 . Son + 4 y + 3 .
El 2º término, que es 7x , se parte en la suma de esos números obtenidos, o sea en 4x + 3x , por lo
que resulta que
6x 2 + 7x + 2 = 6x 2 + 4x + 3x + 2
Se factoriza por agrupación:
6x 2 + 4x + 3x + 2 = 2x(3x + 2) + 1(3x + 2) = (3x + 2)(2x + 1)
6x 2 + 7x + 2 = (3x + 2)(2x + 1).
SEXTO CASO DE FACTORIZACION
SUMA DE CUBOS
Si se multiplica (a 2 - ab + b 2)(a + b)
es decir, que (a 2 - ab + b 2)(a + b) = a 3 + b 3 . Obviamente que si se invierte la igualdad anterior lo que
resulta es cierto sin lugar a dudas, o sea que se puede afirmar que
a 3 + b 3 = (a 2 - ab + b 2)(a + b)
lo que equivale a afirmar que la factorización de a 3 + b 3 es (a 2 - ab + b 2)(a + b) , o bien, ya que la
multiplicación es conmutativa, a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2) .
De lo anterior se desprende la siguiente regla:
Ejemplo 1: Factorizar x 3 + 1
Solución: La raíz cúbica de x 3 es x ; la raíz cúbica de 1 es 1 .
El primer factor es la suma de esas raíces cúbicas, es decir, es (x + 1) .
El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (x + 1) :
Y cuadrado del primer término: (x)2 = x 2 ;
Y menos el producto del primero por el segundo: - (x)(1) = - x ;
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 29
Y más el cuadrado del segundo término: (1)2 = 1 .
De manera que el segundo factor es (x 2 - x + 1) .
Finalmente, la factorización de x3 + 1 es
x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 - x + 1)
Ejemplo 2: Factorizar 8x 3 + 27
Solución: La raíz cúbica de 8x 3 es 2x ; la raíz cúbica de 27 es 3 .
El primer factor es la suma de esas raíces cúbicas, es decir, es (2x + 3) .
El segundo factor se forma a partir del anterior, o sea de (2x + 3) :
Y cuadrado del primer término: (2x)2 = 4x 2 ;
Y menos el producto del primero por el segundo: - (2x)(3) = - 6x;
Y más el cuadrado del segundo término: (3)2 = 9 .
De manera que el segundo factor es (4x 2 - 6x + 9) .
Finalmente, la factorización de 8x 3 + 27 es
8x 3 + 27 = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9)
SÉPTIMO CASO DE FACTORIZACION
OCTAVO CASO DE FACTORIZACION
NOVENO CASO DE FACTORIZACION
DECIMO CASO DE FACTORIZACION
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